α + β = π / 4 のとき (tanα + 1)(tanβ + 1) の値を求める方法

この問題では、tanαとtanβの関係を利用して、(tanα + 1)(tanβ + 1) の値を求めます。まずは、与えられた式 α + β = π / 4 を基に、問題をどのように解くのかをステップごとに解説します。

1. 与えられた条件と問題の理解

問題で与えられている式は、α + β = π / 4 です。この式から、tan(α + β) の値を求めることができます。tan(α + β) の加法定理を使うと、tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα * tanβ) となります。

α + β = π / 4 のとき、tan(π / 4) = 1 です。これを利用すると、式は次のようになります：
1 = (tanα + tanβ) / (1 – tanα * tanβ)。
ここから、tanα + tanβ = 1 – tanα * tanβ という式が得られます。

次に、求める式 (tanα + 1)(tanβ + 1) を展開します。展開すると次のようになります：
(tanα + 1)(tanβ + 1) = tanα * tanβ + tanα + tanβ + 1。

先ほど得た tanα + tanβ = 1 – tanα * tanβ を、この式に代入します。すると、次のように整理できます：
tanα * tanβ + (1 – tanα * tanβ) + 1 = 2。
よって、(tanα + 1)(tanβ + 1) の値は 2 になります。

以上のステップを踏むことで、(tanα + 1)(tanβ + 1) の値が 2 であることが分かります。問題の解法は、tan(α + β) の加法定理を利用することにより、簡単に導くことができました。