微分学の参考書や数学の講義でよく出てくる「高位の無限小」や「スモールオー記法」について、特に疑問を持つことがあるかもしれません。この記事では、スモールオー記法や「高位の無限小」の概念をわかりやすく説明し、実際の例を通してその使い方を解説します。
スモールオー記法とは？
スモールオー記法（O記法）は、関数が無限小のときに、その成長の速度を比較するために使われます。「Q(x) = O(x – a)」という記号は、関数Q(x)が点x=aの近くで、x=aとの差よりも小さい、つまり、x=aに近づくにつれてQ(x)がx-aよりも小さくなることを示しています。
この記法は、関数の「成長の速度」を比較するために重要で、特に微分や積分に関連した問題に登場します。
質問の解釈：分子と分母の関係
質問では、「Q(x)がx=aの近くでx-aより小さい」という意味について疑問が呈されています。ここで言う「x-aより小さい」とは、関数Q(x)がx=aの近くでx-aのオーダー（階数）よりも小さくなるということです。
具体的には、Q(x)が「高位の無限小」であると言うとき、Q(x)はx-aが0に近づく速度よりも遅く0に収束していきます。つまり、Q(x)の成長がx-aの成長よりも小さいということを意味します。
実例：x^2 / x の場合
例えば、x^2 / xという関数がx→0に近づくとき、分子のx^2と分母のxを比較すると、x^2はxよりも速く小さくなります。この場合、x^2はxよりも「高位の無限小」だと言えます。
具体的には、x^2 / x = xとなりますが、x→0のとき、このxは0に向かって単調に収束していきます。このため、x^2 = O(x)という記号で表現することができます。
「高位の無限小」の意味と理解のポイント
「高位の無限小」という表現は、ある関数がx-aに比べてより速く0に収束することを示しています。つまり、x-aよりも小さくなるのですが、x-aのオーダー（速度）よりも小さく収束するため、このような記法が使われます。
重要なのは、O記法を使うことで、無限小の比較がより明確に表現できることです。この概念を理解することによって、微分や積分の問題において、関数の挙動をより正確に把握することができます。
まとめ
スモールオー記法（O記法）や「高位の無限小」の概念は、関数の無限小の挙動を比較するために非常に有効なツールです。Q(x) = O(x – a)という記号は、関数Q(x)がx=aの近くで、x-aよりも小さくなることを示します。実例としてx^2 / xのような関数を扱うことで、これらの概念がどのように適用されるかを学ぶことができます。
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