高校数学「集合と命題」の問題：a＝bと同値な条件を解説

高校1年生の数学「集合と命題」の問題に関して、a＝b と同値な条件を選ぶ問題の解説を行います。問題文に挙げられた条件を順に見ていき、なぜそれが成立するのか、また、a＝bと同値であるかを解説します。

1. 問題の確認

与えられた問題は次の通りです。

a, b, c は実数とする。

次の中で、a＝b と同値な条件を全て選べ。

それぞれの条件を詳しく見ていきましょう。

まず、①の条件を見てみましょう。a + c = b + c の場合、両辺からcを引くと、a = b となります。

したがって、①の条件は a = b と同値な条件です。

次に②の条件を確認します。a² = b² と言うことは、a と b の絶対値が同じであるという意味です。つまり、a = b または a = -b が成り立ちます。

したがって、②の条件は a = b と同値ではありません。この条件は、a = b の場合に加えて、a = -b も成立するため、同値な条件ではありません。

最後に③の条件を確認します。(a – b)² = 0 という式を解くと、a – b = 0 となり、a = b が成立します。

したがって、③の条件は a = b と同値な条件です。

以上をまとめると、a = b と同値な条件は、①と③です。②は a = b に加えて a = -b も成り立つため、同値な条件ではありません。

したがって、正解は①と③です。このような問題では、各条件がどのような数学的な意味を持つのかを考えることが大切です。