直線と曲線の接する条件：なぜaは正になるのか？

問題「直線y=ax+1が曲線y=√(2x-5)-1に接するように、定数aの値を定めよ」という問いにおいて、aが正になる理由について解説します。なぜa＝−4/5では接することがないのか、その理由を具体的に説明していきます。

直線と曲線が接する条件とは？

直線と曲線が接するためには、接点で直線と曲線の接線が一致する必要があります。これは、接点での両者の傾き（微分係数）が等しく、またその点で直線と曲線が交差していることを意味します。

数学的には、接する点で直線の方程式と曲線の方程式が一致し、かつその点での微分係数（傾き）が一致することが必要です。これらの条件を満たすことで、直線と曲線は1点で接することになります。

問題の解法の手順

問題の直線の方程式はy=ax+1、曲線の方程式はy=√(2x-5)-1です。この二つの式が接する条件を求めるために、まず二つの式が交わる点を求めます。交点の座標が求まれば、その点での微分係数を比較してaの値を決定します。

曲線の微分係数を求めると、曲線y=√(2x-5)-1の導関数は、y’ = 1 / √(2x-5)となります。一方、直線の傾きは常にaです。接点での微分係数が等しくなるため、aが決まるわけです。

なぜaが正になるのか？

問題の中で、aが正になる理由についてですが、a＝−4/5で接することはありません。なぜなら、直線と曲線が接するためには、曲線が直線に向かって上向きに傾いていなければならず、そのためにはaが正の値である必要があるからです。

もしaが負の値の場合、直線の傾きは下向きになり、曲線と交わる場所が変わってしまうか、接点が存在しない場合も考えられます。したがって、a＝−4/5の値では接点が存在せず、接するためにはaは正でなければならないという結論になります。

まとめ

直線と曲線が接するためには、交点での微分係数が一致する必要があります。問題において、a＝−4/5では接点が存在しない理由は、直線の傾きが負であり、曲線と交わる位置が変わるからです。接するためには、aは正の値である必要があります。このように、直線と曲線が接する条件を理解することで、問題を解くことができます。