z – e^(-z) = a の解を右半平面で示す方法

複素解析において、方程式 z – e^(-z) = a の解が右半平面で唯一であることを示す問題があります。この問題では、複素数の領域を扱う際に、関数の性質やその挙動に注目することが重要です。

問題設定と前提

与えられた方程式 z – e^(-z) = a に対して、a > 1 の時、この方程式が右半平面 Re(z) > 0 の範囲で唯一の解を持つことを示す必要があります。まず、右半平面で唯一の解が存在する理由を探るために、関数 z – e^(-z) の性質を解析します。

関数 z – e^(-z) の性質

関数 f(z) = z – e^(-z) は、複素平面上で非常に興味深い挙動を示します。まず、f(z) はすべての z に対して連続で、微分可能です。さらに、z – e^(-z) の導関数を求めると、f'(z) = 1 + e^(-z) となります。これにより、f'(z) は常に正の実数値を取るため、関数 f(z) は単調増加であることがわかります。

解の存在と唯一性

次に、f(z) = a の解が存在するか、またその解が唯一であることを示します。f(z) が単調増加しているため、右半平面 Re(z) > 0 内で f(z) = a の解が1つしか存在しないことがわかります。この事実は、解が存在するための十分な条件を満たすため、解の唯一性も確認できます。

まとめ

与えられた方程式 z – e^(-z) = a において、a > 1 の場合、右半平面 Re(z) > 0 で唯一の解が存在することが示されました。関数 z – e^(-z) は単調増加しており、解が1つだけであることが確認できました。これにより、問題に対する解答が得られます。