局所類体論における素数分解法則とQ_3(√-1)・Q_3(√3)・Q_3(√-3)の理解

整数論の局所類体論に関する質問です。特に、3進数体における2次の代数拡大（Q_3(√-1)、Q_3(√3)、Q_3(√-3)）の素数分解法則について説明します。これにより、Q_3(√-1)とQ_3(√3)の関係を理解し、局所体での素数の分解について学びます。

局所体における素数分解

局所体の素数分解に関して、まず大域体との違いを理解することが重要です。例えば、Q(i)のように大域体では、素数の分解法則が比較的理解しやすいですが、局所体では少し異なるアプローチが必要です。

Q_3(√-1) と Q_3(√-3) は、それぞれ異なる素数分解法則を持つ局所体です。Q_3(√-1)の場合、1のn乗根と関係があり、複素数のような構造を持ちます。一方、Q_3(√-3)では3が分岐しますが、1のn乗根との関連は少し異なります。

Q_3(√3) では、3が分岐します。この場合、素数の分解がどのように起こるかは、1のn乗根に関係するわけではありませんが、局所体での素数の振る舞いを理解するには、さらに深い理解が必要です。

Q_3(√-1) では、1のn乗根が素数分解に関係しますが、この局所体における素数の分解は、単純にn乗根の関係だけではなく、他の複雑な構造も含んでいます。

局所体における素数分解法則は、大域体の素数分解法則とは異なる特性を持っています。Q_3(√-1)、Q_3(√3)、Q_3(√-3) それぞれの局所体における素数の振る舞いを理解することが、整数論における重要なポイントです。