円と直線の交点を求める問題は、代数的に解くことができます。今回の問題では、円の方程式 X² + Y² = 10 と直線の方程式 Y = X + 2 が与えられています。これらの共有点の座標を求める方法を解説します。
問題の整理
与えられた円の方程式 X² + Y² = 10 と、直線の方程式 Y = X + 2 を確認します。円は原点 (0, 0) を中心に半径 √10 の円です。直線は傾き 1 の直線で、Y 軸との交点が (0, 2) です。
これらの交点を求めるために、代数的に解く方法を使用します。直線の方程式 Y = X + 2 を円の方程式に代入して、共有点の座標を求めます。
代入法を使った解法
まず、直線の方程式 Y = X + 2 を円の方程式 X² + Y² = 10 に代入します。Y の部分を X + 2 に置き換えます。
すると、円の方程式は次のようになります。
X² + (X + 2)² = 10
次に、この式を展開します。
X² + (X² + 4X + 4) = 10
整理すると、次のようになります。
2X² + 4X + 4 = 10
さらに、10を移項して整理します。
2X² + 4X - 6 = 0
この方程式は二次方程式です。次に、両辺を2で割り簡単化します。
X² + 2X - 3 = 0
これが解くべき二次方程式です。
二次方程式を解く
二次方程式 X² + 2X – 3 = 0 を解くためには、因数分解を使用します。この式は次のように因数分解できます。
(X + 3)(X - 1) = 0
したがって、X の解は X = -3 または X = 1 です。
これらの X の値を元の直線の方程式 Y = X + 2 に代入して、それぞれの Y の値を求めます。
交点の座標
まず、X = -3 の場合、Y = -3 + 2 = -1 となります。
次に、X = 1 の場合、Y = 1 + 2 = 3 となります。
したがって、直線と円の共有点の座標は (-3, -1) と (1, 3) の2点です。
まとめ
今回の問題では、円の方程式 X² + Y² = 10 と直線の方程式 Y = X + 2 の交点を求めるために、代入法を使用しました。得られた解は、共有点の座標が (-3, -1) と (1, 3) であることがわかりました。このように、代数的な手法を使うことで、円と直線の交点を簡単に求めることができます。
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