大学入試の数学：lim,m→∞ log(e^m-1)/log(m^m)=0の証明を省略しても良いか

大学入試の数学問題において、「lim,m→∞ log(e^m-1)/log(m^m)=0」を証明なしにしても良いかという疑問について解説します。

1. 問題の理解と要点

問題では、極限を求める式が与えられています。この式は、mが無限大に近づくときに、log(e^m-1)とlog(m^m)の比がどうなるかを求めるものです。これを解くためには、まずそれぞれの対数の性質や、無限大での挙動を理解する必要があります。

2. どのように解くか

問題で与えられた式は、mが無限大に近づくときに、log(e^m-1)とlog(m^m)の比がどのように挙動するかを計算します。具体的には、log(e^m-1)は、mが大きくなるとe^mが非常に大きくなるため、e^m-1とほぼ同じ値になります。このため、log(e^m-1)はlog(e^m)とほぼ等しくなり、log(m^m)も簡単に計算できます。

3. 証明なしにしても良いか

大学入試の数学において、答えを導く過程の一部を省略することが許される場合もありますが、特に証明が求められる問題の場合は省略しない方が良いです。この場合、lim,m→∞ log(e^m-1)/log(m^m)=0を説明する際に、なぜそれが成り立つのかの理由を明確に示すことが求められます。

4. 結論

結論として、この問題において証明を省略しても良いかという点については、入試の形式や求められる精度により異なりますが、理論的な背景をきちんと理解しておくことが大切です。証明を省略するのではなく、しっかりと理由を説明できるように準備しておくことが重要です。

この問題を解くためには、無限大での挙動を理解し、適切な対数の性質を用いることが鍵となります。