重解を持つ3次方程式の理解とその表現方法

3次方程式は、一般的に3つの解を持ちますが、その中で「重解」を持つ場合があります。重解とは、同じ値の解が複数回現れるケースのことです。この概念を理解するためには、具体的な式を通じて学ぶことが有効です。今回は、重解を持つ3次方程式をどのように表現するかを解説します。

重解とは

重解とは、方程式の解のうち、同じ値が繰り返し現れる場合を指します。例えば、方程式が「(x – a)(x – a)(x – b) = 0」の形で表される場合、解はx = aが2回、x = bが1回出現します。このように、aが重解となります。

重解を持つ3次方程式の一般的な形

重解を持つ3次方程式は、通常、因数分解を利用して「(x – a)(x – a)(x – b) = 0」の形で表現できます。ここで、x = aが2回現れるため、aは重解となります。つまり、aが2回解となるため、この方程式は「x = a」と「x = b」の2つの解を持つことになります。

重解を持つ場合の具体例

具体例として、方程式「(x – 2)(x – 2)(x – 5) = 0」を考えてみましょう。この方程式では、解はx = 2が2回、x = 5が1回現れます。したがって、x = 2が重解であり、x = 5が単独の解として出現します。このような場合、x = 2が重解であることがわかります。

重解を持つ場合のグラフの特徴

重解を持つ3次方程式のグラフでは、解が重なっている点で接線が水平になることがあります。例えば、x = 2が重解である場合、グラフはx = 2の位置で接線を持ち、その点で曲線が横たわるような形になります。この特性を利用して、3次方程式の解の性質を視覚的に理解することができます。

まとめ

重解を持つ3次方程式は、因数分解の形で「(x – a)(x – a)(x – b) = 0」のように表現されます。この式において、aは重解であり、bは単独の解となります。グラフで見ると、重解を持つ点で接線が水平になるなどの特徴があります。このような方程式を理解することは、3次方程式の性質を深く理解するために重要です。