「(cosθ+2)(2cosθ-√2)＞0」という不等式を解く問題では、どのように解いていけばよいのか迷ってしまうこともありますよね。特に「sinθ-2<0から2sinθ+1<0」という表現が出てきた際に、どのようにその過程が成り立つのかを理解するのは重要です。
1. (cosθ+2)(2cosθ-√2)＞0 の不等式を展開する
まず、(cosθ+2)(2cosθ-√2)＞0 を展開しましょう。まず最初に、二項の積を展開します。
(cosθ + 2)(2cosθ – √2) = cosθ(2cosθ – √2) + 2(2cosθ – √2) = 2cos²θ – √2cosθ + 4cosθ – 2√2
これを整理すると、次のような式になります。
2cos²θ + (4 – √2)cosθ – 2√2＞0
2. 不等式を解くためにcosθを含む式に注目する
次に、この式が不等式 2cos²θ + (4 – √2)cosθ – 2√2＞0 の形で与えられていることを確認します。ここから、cosθを未知数として扱い、この2次不等式を解いていきます。
この形の不等式を解く方法は、2次方程式の解法と似ていて、cosθの値に関していくつかの制約を見つけることが求められます。
3. (cosθ + 2)(2cosθ – √2)＞0 から 2sinθ + 1 < 0 を導出する方法
ここで重要なのは、sinθとcosθの関係式です。三角関数の基本的な性質を活用すると、sinθ – 2 < 0という式を2sinθ + 1 < 0という形に変形することができます。次のように、sinθの範囲に注目しながら変形を進めましょう。
sinθ – 2 < 0 の場合、sinθ < 2です。これを元に、2sinθ + 1 < 0という形に変形することができます。
4. 結論とまとめ
この問題の解法は、まず与えられた不等式を展開し、cosθに関する2次不等式に変換した後、三角関数の性質を活用して解を求めていくというものです。重要なのは、sinθとcosθの関係をしっかり理解し、式を整理することです。数Ⅱの問題は基本的な関数の理解が必要ですが、何度も問題を解くことで、少しずつ理解を深めていきましょう。
問題を解く過程で出てきた式や変形の部分をじっくりと見直し、三角関数の基本的な性質を再確認すると良いでしょう。
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