数学的帰納法は、ある命題が自然数に対して成り立つことを示す強力な証明方法です。特に、「n=1が成り立つ」「n=kの式を仮定する」「n=k+1のときも成り立つ」という基本的な流れを理解している人も多いと思いますが、その後にどのように結論を記述すべきか、疑問に思うことがあるかもしれません。
数学的帰納法の基本的な流れ
数学的帰納法では、次の3つのステップを踏みます。
- 基礎ケース：最初の値（通常はn=1）に対して命題が成り立つことを示します。
- 帰納法の仮定：あるn=kについて命題が成り立つと仮定します。
- 帰納ステップ：n=k+1のときにも命題が成り立つことを証明します。
これらのステップをしっかりと踏むことで、全ての自然数に対して命題が成り立つことを示すことができます。
n=k+1の証明後に何を記述すべきか？
帰納法の最後のステップ、つまり「n=k+1のときも成り立つ」を証明した後に書くべき文章は、次のようにまとめます。
- 結論：これにより、n=k+1のときも命題が成り立つことが確認されました。
- 全体の結論：したがって、数学的帰納法により、n=1から始めてすべての自然数nについて命題が成り立つことが証明されました。
要するに、「すべての自然数に対して成り立つ」という言葉を使って、証明が完了したことを明確に示します。
具体的な書き方の例
具体的な例として、ある命題「n番目の自然数に関する命題」が成り立つことを示すために、次のように記述することができます。
- 基礎ケース：n=1のとき、命題が成り立つことを示す。
- 帰納法の仮定：n=kのときに命題が成り立つと仮定する。
- 帰納ステップ：n=k+1のときも命題が成り立つことを示す。
そして、最後に「したがって、すべての自然数nに対して命題が成り立つことが示された」と結論します。
まとめ
数学的帰納法では、n=1の場合が成り立つことを確認し、n=kの仮定からn=k+1の場合が成り立つことを示すことで、すべての自然数に対して命題が成り立つことを証明します。最後に「すべての自然数nに対して成り立つ」という形で結論を記述することで、証明が完成します。
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