三角形OCDと台形ABOCの面積比の求め方

この問題では、座標平面上の関数y = x²のグラフといくつかの点や線分を使って、三角形OCDと台形ABOCの面積比を求めます。以下の説明では、各点や線分の位置関係を明確にし、面積比を求める方法について詳細に解説します。

問題の設定と図形の関係

関数y = x²のグラフ上に点Aがあり、点Aのx座標はa（a > 0）です。点Aと同じy座標を持つ点Bがグラフ上にあります。点Aからx軸に垂直に下ろした線の足を点Cとし、線分BCと線分OAの交点を点Dとします。ここで求めるのは、三角形OCDと台形ABOCの面積比です。

まず、点A、B、C、D、Oが座標平面上でどのように配置されるかを整理し、それぞれの面積を求める方法を考えます。

関数y = x²上に点Aがあり、点Aのx座標はaです。したがって、点Aの座標は(A, a²)です。点Bは、点Aとy座標が同じであるため、Bの座標は(B, a²)で、Bのx座標は- aとなります。

点Cは、点Aからx軸に下ろした垂線の足です。よって、点Cの座標は(C, 0)で、Cのx座標はaです。

三角形OCDの面積を求めるためには、三角形の底辺と高さを求める必要があります。底辺はOCの長さで、OCのx座標はa、Oのx座標は0なので、OCの長さはaです。高さは点Dからx軸までの垂直距離で、y座標の差であるa²を使用します。

したがって、三角形OCDの面積は、次の式で求められます。

面積 = (1/2) × 底辺 × 高さ = (1/2) × a × a² = (a³) / 2

次に、台形ABOCの面積を求めます。台形の面積は、上底、下底、高さを使って計算できます。上底はABの長さ、下底はOCの長さ、高さは点Aからx軸までの垂直距離です。

ABの長さは、点Aと点Bのx座標の差で、AB = 2aです。OCの長さはaです。高さは点Aのy座標で、a²です。

したがって、台形ABOCの面積は、次の式で求められます。

面積 = (1/2) × (上底 + 下底) × 高さ = (1/2) × (2a + a) × a² = (3a³) / 2

三角形OCDの面積と台形ABOCの面積を求めたので、面積比を求めます。

三角形OCDの面積は(a³) / 2、台形ABOCの面積は(3a³) / 2です。したがって、面積比は次のようになります。

面積比 = (三角形OCDの面積) / (台形ABOCの面積) = ((a³) / 2) / ((3a³) / 2) = 1 / 3

三角形OCDと台形ABOCの面積比は1:3となります。問題の設定を図形の関係に基づいて整理し、各面積を計算することで、面積比を求めることができました。