Γ(z)の留数の求め方：整数n>=0に対するz=-nでの留数

Γ(z)関数の留数を求める問題は、複素解析において重要なテーマです。特にz=-nのような整数での留数の計算は、特異点の解析を通じて行います。この解説では、Γ(z)関数の性質を利用して、z=-nにおける留数を求める方法を解説します。

1. Γ(z)関数の定義と性質

Γ(z)関数は、次のように定義されます。

Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1) e^(-t) dt

この関数は、実部が正の複素数zに対して収束し、特異点は負の整数z = -n (n=1,2,3…) に存在します。

留数を求めるためには、Γ(z)の特異点での展開を考えます。Γ(z)は負の整数で特異点を持ち、その周りでは、次のように近似できます。

Γ(z) ≈ (-1)^n / n! * (z + n)

したがって、z=-nにおけるΓ(z)の留数は、(-1)^n / n! になります。

例えば、z=-1におけるΓ(z)の留数を求める場合、n=1とすると、留数は(-1)^1 / 1! = -1 となります。同様に、z=-2の場合は、n=2となり、留数は1/2! = 1/2 となります。

このように、Γ(z)関数の特異点における留数は、Γ(z)の近似展開を使用することで簡単に求めることができます。問題では、整数n>=0に対してz=-nの留数を求めることが求められているため、nの値を代入して計算することになります。