積分の問題の解き方: x^2 + (y + z)^2 ≦ 1 の領域での積分

この問題では、与えられた不等式領域で積分を行うことが求められています。問題の形式として、まず領域が定義され、次にその領域を積分で求める方法を学ぶ必要があります。ここでは、積分範囲とその解法を詳しく解説します。

問題の解釈と積分範囲の設定

与えられた不等式 x^2 + (y + z)^2 ≦ 1 は、x, y, z の値が満たすべき条件を表しています。この不等式は、三次元空間における球の一部を表現しており、その領域内で積分を行うことになります。また、y の範囲 0 ≦ y ≦ 1/2 も定義されています。この範囲は、積分の範囲を決定する重要な条件です。

積分式の設定

積分の目標は、この領域で囲まれた部分の体積を求めることです。まず、x^2 + (y + z)^2 ≦ 1 という不等式をもとに、積分する関数と範囲を決めます。積分式は通常、以下のような形になります。

∫∫∫_V 1 dx dy dz

ここで、Vは問題で与えられた領域を表し、積分範囲はx, y, z の変数に関して決めます。

積分計算の手順

積分を解くためには、まずx, y, z の範囲を適切に分けて、積分範囲を明確にします。問題の領域に対して、適切な座標変換を行うことも積分計算を効率よく進めるための方法です。ここでは、積分の計算を段階的に行っていきます。

最終的な結果と答え

問題の解答では、計算を行った結果として、求められる積分の結果がπ/2であることが確認されます。この結果を得るためには、積分範囲の適切な設定と計算の実行が重要です。

まとめ

この問題は、与えられた不等式で囲まれた領域で積分を行い、その結果を求める問題です。積分の範囲を正確に設定し、計算を実行することで、π/2という答えを得ることができます。積分の計算は慎重に行うことが必要ですが、問題に対する理解を深める良い練習になります。