a≦√x≦bを満たす自然数xの個数が2026個の時、自然数a,bの組の個数を求める方法

「a≦√x≦bを満たす自然数xの個数が2026個の時、自然数a,bの組の個数を求めよ。」という問題は、数列や整数の範囲を扱う問題の一つです。この記事では、この問題を解くための方法を詳細に解説します。

1. 問題の理解

まず、問題文を整理しましょう。a≦√x≦b という条件が与えられ、xが自然数であるとき、xの個数が2026個になるようなaとbの組み合わせを求める問題です。具体的に、xがa²以上b²以下の範囲にある場合、aとbの範囲が決まるという関係になります。

つまり、xはa² ≦ x ≦ b²の範囲にある自然数です。この範囲にある自然数の個数が2026個であるという条件が与えられています。

問題を数式に変換すると、次のような式になります。

b² – a² + 1 = 2026

この式が成り立つようなaとbの組み合わせを求めます。まず、b² – a² = 2025となります。この式を解くためには、2025を因数分解し、適切な値を選ぶ必要があります。

2025は以下のように因数分解できます。

2025 = 5² × 3² × 9

次に、この因数を使って、(b – a)と(b + a)の組み合わせを選びます。2025の因数のペアをリストアップすると、次のような組み合わせが考えられます。

これらの因数を使って、(b – a)と(b + a)を対応させていきます。

(b – a)と(b + a)の各組み合わせを使って、aとbを求めます。例えば、(b – a) = 1、(b + a) = 2025の場合、b = (2025 + 1) / 2 = 1013、a = (2025 – 1) / 2 = 1012となります。

同様に、他の因数の組み合わせを使って、aとbの値を求めることができます。最終的に求めるべきaとbの組み合わせの個数をカウントすることで、問題の解答が得られます。

この問題では、2025の因数分解を利用して、(b – a)と(b + a)を適切に選ぶことで、aとbの組み合わせを求めることができます。その後、求められた組み合わせの個数を数えることで解答を得ることができます。