a

この問題では、不等式a < √x < bを満たす自然数xの個数が2026個であるとき、自然数aとbの組を求める方法について解説します。問題を解くためには、まず与えられた条件を数式として整理し、数を求める方法を考える必要があります。

問題の設定と整理

与えられた不等式a < √x < bを満たす自然数xの個数が2026個です。ここで、√xはxの平方根です。したがって、この問題ではa < √x < bを満たすxの範囲を求め、その中で自然数xが何個あるかを計算します。

まず、平方根の不等式を整理します。a < √x < bの両辺を二乗することで、次のような不等式に変換できます。

a² < x < b²

次に、この不等式を満たす自然数xを考えます。a² < x < b²の範囲にあるxの個数は、b² - a² - 1個です。したがって、2026個の自然数xがこの範囲に含まれているということは、次の式が成り立ちます。

b² – a² – 1 = 2026

これを解くと、b² – a² = 2027となります。

b² – a² = 2027は、差の二乗の形で書き換えることができます。

(b – a)(b + a) = 2027

ここで、2027は素数です。したがって、2027を因数分解すると、(b – a)と(b + a)の組み合わせとして考えられるのは次の2つのペアです。

次に、(b – a) = 1 および (b + a) = 2027 の場合を考えます。この場合、次の2つの式が得られます。

b – a = 1

b + a = 2027

これを連立方程式として解くと、b = 1014, a = 1013 となります。

したがって、自然数aとbの組はa = 1013, b = 1014です。

不等式a < √x < bを満たす自然数xの個数が2026個であるとき、自然数aとbの組はa = 1013, b = 1014であることが分かりました。このように、数式を整理して計算することで、問題を解くことができます。