高校数学：三角関数の問題を解く方法 – xをrsin(θ+a)の形に変換し、範囲を求める

この問題では、三角関数の式を簡単な形に変換し、xとyの範囲を求める方法について解説します。特に、三角関数の和の形を変換する方法や、範囲を求める問題をどのように解くかに焦点を当てます。

1. xをrsin(θ + a)の形に変換する方法

問題では、x = sin(θ) + cos(θ) + 2sin(θ)cos(θ) + 1が与えられています。まず、x = sin(θ) + cos(θ)とおき、この式を簡単な形に変換する方法を考えます。

まず、sin(θ) + cos(θ)をr*sin(θ + a)の形に変換します。これは三角関数の加法定理を利用して、rとaの値を求める方法です。

2. xの範囲を求める

次に、0 ≦ θ ≦ πの範囲でxの取る値を求めます。この範囲でのxの変化を調べるために、x = r*sin(θ + a)を考え、rの最大値と最小値を求めます。三角関数の性質を利用し、xの最大値と最小値を計算します。

3. yをxを用いて表す方法

yをxを用いて表す方法を求めるために、xを既に求めた形でyに代入します。y = f(x)の形で表される場合、xの範囲がどのようにyに影響するかを見ていきます。

4. 定数kの値の範囲を求める

最後に、y = kという方程式を満たすθが1個だけ存在するようなkの値を求めます。ここでは、xの範囲からyの値を計算し、θが1個だけ解を持つための条件を求めます。kの範囲を決定するために、yの最大値と最小値に注目します。

5. まとめ

三角関数の問題では、与えられた式を簡単な形に変換し、範囲を求めることが重要です。x = sin(θ) + cos(θ)とおいた式をr*sin(θ + a)の形に変換することで、計算が楽になり、範囲を求める際も三角関数の性質を利用することができます。また、y = kの方程式についても、xの範囲から条件を導き出すことができるため、問題の解決が容易になります。