「-π/2 < θ < π/2 のとき、x = (1 - tanθ^2) / (1 + tanθ^2) 及び y = (tanθ) / (1 + tanθ^2) の点がどのような軌道を描くか」という問題について、解説します。このような問題は、三角関数と代数的な操作を組み合わせて解く問題で、少し複雑に感じるかもしれませんが、しっかり理解すればスムーズに解けます。
x, y の式と三角関数
問題文に与えられた式は、三角関数の tanθ を利用して定義されています。まず、x と y を確認しましょう。
- x = (1 – tanθ^2) / (1 + tanθ^2)
- y = (tanθ) / (1 + tanθ^2)
これらは、いわゆる「三重角の公式」や、一般的な三角関数の変形でよく見られる形です。この式を使って、x と y がどのような点を取るかを考えていきます。
定義域と θ の範囲
式における θ の範囲は「-π/2 < θ < π/2」となっており、この範囲内で tanθ の値は定義されます。特に重要なのは、tanθ はこの範囲内で無限大にはならないため、x と y の値が具体的に計算可能であるということです。
次に、x^2 + 4y^2 = 1 の形に変形することで、これが楕円の軌道を描くことがわかります。この式から、x, y が満たすべき条件を確認し、点がどのように配置されるかを導き出します。
θの消去と軌道の解析
θを消去した後、x^2 + 4y^2 = 1 の式を得ます。これは、x と y の値が楕円の上に位置することを示しています。この楕円は、x と y の値が満たすべき条件を表しており、θの値に応じて、点がどの位置にあるかが決まります。
さらに、定義域「-1 < x ≦ 1」の範囲内で、tanθが存在し、yも存在するため、xの範囲において対応するy座標が存在することが確認できます。実際、x ≠ 1 の場合、二つの異なるθに対してyが2つの異なる値を取ることがあります。
楕円上の二点の存在とその解釈
そのため、x ≠ 1 の場合、異なるθに対してyが二つの異なる値を取ることがあり、このことが楕円上の二つの点を示しています。したがって、与えられた範囲内で、xに対応するy座標は二点存在することになります。
この解釈は基本的に正しく、楕円の特性に基づいて、あるxに対して二つの異なるyが対応する点が存在するという事実に結びつきます。
厳密な検証と簡潔な理解
さらに厳密に検証するためには、yの式に異なるtanθの値を代入しても、yの値が一致することを確認する必要があります。tanθが二つの異なる値を取るときでも、yが同じ値になることがあるかもしれません。この確認は、式に代入して確かめることで行えます。
簡潔に言えば、x ≠ 1 の場合には二つのy座標が対応し、楕円上で二点の位置を取ることがわかります。これにより、xとyの関係がどのように変化するかを視覚的に理解することができます。
まとめ
「-π/2 < θ < π/2 のとき、x = (1 - tanθ^2) / (1 + tanθ^2) および y = (tanθ) / (1 + tanθ^2) がどのような点を取るか」という問題では、xとyが描く軌道が楕円であり、特にx ≠ 1 の場合に二つのyが対応する点があることが分かります。これらを理解することで、三角関数を使った数学的な問題をより深く理解することができます。
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