放物線とx軸の交点：f(x)＜0の意味と理解のための図解

放物線とx軸が交わるとき、関数f(x)が負の値を取るのはどういうことかを理解するために、まずは放物線の基本的な性質について確認しましょう。この記事では、f(x)＜0がどのような場合に起こるのか、またその理屈を図を使って分かりやすく解説します。

1. 放物線の基本的な形と意味

放物線は、2次関数のグラフであり、一般的にy = ax² + bx + cという形をしています。aが正なら下に凸、負なら上に凸の形を取ります。今回は、aが負で下に凸の放物線を考えます。この放物線は、x軸と交わることがありますが、その交点が意味するものは何でしょうか？

放物線がx軸を交わる位置では、y = 0になります。つまり、f(x) = 0となります。この交点を求めることが、放物線とx軸の交点を見つけることに当たります。

2. f(x)＜0とはどういうことか？

関数f(x)が負の値を取るとは、yの値がx軸の下側に位置するということです。放物線がx軸を下から通過する場合、その間の領域ではf(x)＜0となります。この範囲では、yの値が負であるため、グラフがx軸の下側にあります。

つまり、放物線がx軸を交わるとき、xの範囲でf(x)が負になるのは、x軸を挟んで放物線の下側に位置していることを意味します。

3. x軸の交点の位置とf(x)＜0の関係

x軸を2回交わる場合（つまり、放物線のグラフがx軸を2点で交わる場合）は、x軸の正の部分と負の部分の両方でf(x)＜0が成り立ちます。放物線がx軸を交わる場所が2点であれば、x軸を挟んで、放物線が上に凸であるならばx軸の両側に負の値が生じます。これは放物線の形が下に凸であるからこそ成立する特徴です。

例えば、x軸の正の部分ではx > 0となり、負の部分ではx < 0となります。この2つの区間で、放物線がx軸をまたいで下に凸になるため、その間でf(x)が負となるわけです。

4. 図解による理解

理解を深めるために、実際に図を描いてみましょう。放物線y = ax² + bx + cのグラフがx軸と交わる場合、その交点はf(x) = 0となり、その周辺でf(x)＜0になります。放物線が2点でx軸と交わる場合、その交点を通過する領域は、x軸の上と下にそれぞれ広がります。

この図を描くことで、放物線がx軸を交わる部分の理解がより明確になります。放物線が下に凸である場合、交点でxの範囲が2つに分かれることがわかります。

まとめ

放物線がx軸を交わるとき、f(x)＜0が成立するのは、x軸を挟んで放物線の下側に位置する部分です。特に、aが負で下に凸の放物線では、x軸を2回交わる場合、その両端でf(x)＜0が成立します。図を使って確認することで、この理屈をより理解しやすくなります。