数学の問題で、自然数nの個数が特定の条件を満たすような範囲を求める問題はよくあります。この問題では、a≦√n≦bを満たす自然数nの個数が2026個になるようなaとbの組を求めることが求められています。この記事では、この問題を解くための手順を詳しく解説します。
1. 問題を理解する
まず、問題の条件を整理します。式a≦√n≦bは、nの値がaからbの範囲にある場合、√nがその範囲に収まることを意味します。つまり、nはa²以上、b²以下の自然数である必要があります。したがって、求めるべきnはa²≦n≦b²の範囲にある整数となります。
この範囲における自然数nの個数が2026個であることを考慮します。
2. 範囲を設定する
a²≦n≦b²という範囲にある自然数nの個数を求める方法は、b²からa²までの整数を数えることです。この範囲に含まれる整数の個数は、b² – a² + 1 で求めることができます。
したがって、次の式が成り立ちます。
b² – a² + 1 = 2026
この式を解くことで、aとbの値を特定することができます。
3. 方程式を解く
上記の式を変形して解きます。
b² – a² = 2025
これは差の平方として因数分解できます。
(b – a)(b + a) = 2025
次に、2025を因数分解します。
2025 = 5² × 3² × 9
したがって、(b – a)と(b + a)の積が2025となるような組み合わせを考える必要があります。2025の因数をリストアップし、(b – a)と(b + a)をそれぞれ選んで解を求めます。
4. 因数を利用して解を求める
2025の因数は以下の通りです。
- 1, 2025
- 3, 675
- 5, 405
- 9, 225
- 15, 135
- 25, 81
- 27, 75
- 45, 45
これらの因数から、(b – a)と(b + a)を対応させていきます。例えば、(b – a) = 1、(b + a) = 2025の場合、bとaの値を求めると、b = (2025 + 1) / 2 = 1013、a = (2025 – 1) / 2 = 1012となります。
同様に、他の因数の組み合わせを使って、aとbを求めることができます。
5. 結果を確認する
これらの計算により、aとbの組み合わせが求められます。例えば、a = 1012、b = 1013の場合、b² – a² + 1 = 2026が成立します。
まとめ
a≦√n≦bを満たす自然数nの個数が2026個となるようなaとbの組を求めるためには、b² – a² + 1 = 2026という方程式を解くことが必要です。具体的には、2025を因数分解し、その因数を使ってb – aとb + aを設定することで、aとbの値を求めることができます。
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