数学の問題で「方程式 x² + y² + 2mx – 2(m-1)y + 5m² = 0 が円を表すとき、定数 m の範囲を求め、円の半径を最大にする m の値を求める」という問題に取り組んでいるとき、r²とrの最大値の関係について疑問が生じることがあります。この記事では、この問題を解決するための手順と、r²とrの最大値の違いについて詳しく解説します。
円の方程式を標準形に変形する
まず、与えられた方程式 x² + y² + 2mx – 2(m-1)y + 5m² = 0 が円の方程式であることを確認します。この方程式を円の標準形に変形することで、円の半径と中心を求めることができます。
円の方程式は一般に (x – h)² + (y – k)² = r² の形になります。この形に変形するために、与えられた式の平方完成を行います。まず、x と y に関する項をそれぞれ平方完成します。
平方完成を使って円の方程式を変形
x² + 2mx と y² – 2(m-1)y の部分について平方完成を行います。x² + 2mx は (x + m)² – m² になり、y² – 2(m-1)y は (y – (m-1))² – (m-1)² になります。
これらを元の方程式に代入して整理すると、次のような形になります。
(x + m)² + (y – (m-1))² = m² + (m-1)² – 5m²
さらに計算を進めると、この式は (x + m)² + (y – (m-1))² = -3m² + 2m + 1 という形になります。ここから、半径の二乗 r² とその最大値を求めることができます。
半径 r² の最大値を求める
円の半径の二乗 r² は -3m² + 2m + 1 であり、この関数の最大値を求めるためには、r² を m に関して最大化する必要があります。r² の最大値を求めるためには、二次関数の頂点を求める方法を使います。
二次関数 -3m² + 2m + 1 の頂点は、m = -2/3 で、r² の最大値はこの時に得られます。
r² と r の最大値の違いについて
質問者が気になっている「r²とrの最大値が同じか？」という点について説明します。確かに、r² の最大値と r の最大値は異なります。r² は半径の二乗の値であり、r はその平方根です。
したがって、r² の最大値が最大半径の二乗を表し、その平方根を取ると最大半径 r が求められます。r² の最大値を求めることによって、最大の半径 r を得るためには、単純にその平方根を取る必要があります。
まとめ
方程式 x² + y² + 2mx – 2(m-1)y + 5m² = 0 が表す円の半径を最大にする m の値を求める方法と、r² の最大値を求める方法について解説しました。r² と r は異なるものであり、r² の最大値から最大半径を求めるには、その平方根を取る必要があることを理解することが重要です。
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