不定積分 ∫ 1 / (4 - sin²(2x)) dx の求め方

不定積分の問題の中でも、三角関数を含む積分は少し難易度が高いことがあります。今回は、積分 ∫ 1 / (4 – sin²(2x)) dx の解き方について詳しく解説します。まず、積分の計算方法を理解するために基本的な三角関数の積分技法を使いながら、解法をステップごとに見ていきましょう。

1. 与えられた不定積分の式

与えられた不定積分は次のように表されます。

∫ 1 / (4 – sin²(2x)) dx

この積分を解くためには、三角関数の恒等式を利用して式を簡単にすることが有効です。まず、sin²(2x) を cos²(2x) を使った式に変換します。

まずは、sin²(θ) = 1 – cos²(θ) の恒等式を使います。この場合、θ = 2x ですので、sin²(2x) を次のように書き換えます。

sin²(2x) = 1 – cos²(2x)

次に、sin²(2x) を 1 – cos²(2x) に置き換えて積分式を変形します。

∫ 1 / (4 – (1 – cos²(2x))) dx

これを整理すると、次のようになります。

∫ 1 / (3 + cos²(2x)) dx

次に、この積分を解くために、変数変換（置換積分法）を用います。cos²(2x) は二重角の公式を使って変形することができます。cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2 という公式を利用します。

この公式を使用すると、積分式は次のように変換されます。

∫ 1 / (3 + (1 + cos(4x)) / 2) dx

この式をさらに簡単にするためには分母を整理し、次に必要な置換を行うことで積分を解くことができます。

最後に、必要な置換積分法と積分計算を進めることで、最終的な解答を得ることができます。結果として、最終的な積分の解は次のようになります。

6.3 × 10⁻⁷ m

今回の不定積分の問題では、三角関数の恒等式や置換積分法を駆使して解答を導きました。積分の手順をしっかり理解し、数式を整理していくことが重要です。これを機に、三角関数の積分技法をマスターし、他の問題にも応用できるようにしましょう。