二次方程式が実数解をもたない条件を求める方法：定数Mの範囲

この問題では、二次方程式 x² + (m-1)x + (2m-1) が実数解を持たないための定数Mの範囲を求めます。二次方程式が実数解を持たない場合、その判別式が負であることが必要です。この記事では、判別式を使って問題を解く方法を解説します。

二次方程式の判別式を求める

二次方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式 Δ は次の式で求められます。

Δ = b² – 4ac

この判別式が負の場合、二次方程式は実数解を持ちません。与えられた二次方程式 x² + (m-1)x + (2m-1) において、a = 1, b = m-1, c = 2m-1 です。

判別式 Δ を計算します。

Δ = (m-1)² – 4(1)(2m-1)

Δ = (m² – 2m + 1) – 4(2m – 1)

Δ = m² – 2m + 1 – 8m + 4

Δ = m² – 10m + 5

二次方程式が実数解を持たないためには、判別式 Δ が負である必要があります。したがって、次の不等式を解きます。

m² – 10m + 5 < 0

この不等式を解くために、解の公式を使ってmの範囲を求めます。

解の公式：m = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2aを使って、m² – 10m + 5 = 0 の解を求めます。a = 1, b = -10, c = 5 です。

m = (10 ± √((-10)² – 4(1)(5))) / (2(1))

m = (10 ± √(100 – 20)) / 2

m = (10 ± √80) / 2

m = (10 ± 4√5) / 2

m = 5 ± 2√5

したがって、mの範囲は 5 – 2√5 < m < 5 + 2√5 となります。この範囲において、二次方程式は実数解を持たないことがわかります。

まとめると、定数Mの値の範囲は 5 – 2√5 < m < 5 + 2√5 です。この範囲では、与えられた二次方程式が実数解を持たないことが確定します。