定数Mの範囲を求める方法｜二次不等式の解法

この問題では、二次不等式の解を求めることが求められています。まずは、それぞれの不等式に関して詳しく見ていき、条件を満たす定数Mの値の範囲を求めましょう。

1. 二次不等式の理解

問題に登場する二次不等式は、以下の2つです。

• ① x² – mx + m + 1 > 0 の解が全ての実数である
• ② -x² + 2mx – m – 6 > 0 の解がない

これらの不等式を解くには、まずそれぞれの不等式が示す条件を明確にする必要があります。

2. ①の不等式の解法

まず、①の不等式 x² – mx + m + 1 > 0 の条件を解いていきます。この不等式が全ての実数で成り立つためには、解の公式を使って二次方程式の判別式が負である必要があります。判別式が負である条件を導くと、mの範囲が分かります。

3. ②の不等式の解法

次に、②の不等式 -x² + 2mx – m – 6 > 0 の解がないという条件を考えます。この不等式は、グラフがx軸と交わらない、つまり判別式が負であることが条件です。この条件を満たすmの範囲を求めます。

4. 結果のまとめ

①と②の条件をそれぞれ満たすmの範囲を求めると、定数Mの範囲が明らかになります。これを合わせると、最終的に求めるmの範囲が得られます。

5. まとめ

二次不等式の解法では、判別式を用いて解の有無を確認し、条件を満たす範囲を求めます。ここでは、2つの不等式の条件から定数Mの範囲を求める方法について解説しました。