円と直線の接点を求める方法：直線の距離とkの関係

円と直線が接する点を求める問題では、直線と円の方程式を使って接点を計算します。直線の方程式がy = x + kであり、円と接する条件でkの値を求める方法について、具体的な解法を解説します。

円と直線の接点の求め方

円と直線が接する点を求めるには、まず直線と円の方程式を連立させます。円の方程式は通常、(x – h)² + (y – k)² = r²の形ですが、直線の方程式がy = x + kの場合、yを円の方程式に代入することで接点を求めます。

代入した後、得られた2次方程式の解が1つであれば、円と直線は1点で接していることがわかります。接点が2つ以上だと円と直線は交差しており、解がない場合は接点が存在しません。

kの値を求めるためのステップ

1. 直線の方程式y = x + kを円の方程式に代入します。

2. 代入後、得られた方程式を整理して2次方程式を作ります。

3. 2次方程式が1つの解を持つ条件（判別式が0）を使って、kの値を求めます。

このとき、判別式D = b² – 4acが0となる条件を満たすkを求めることで、円と直線が接する点の位置が特定できます。

具体的な計算例

例えば、円の方程式が(x – 1)² + (y – 2)² = 25であり、直線の方程式がy = x + kの場合、まずy = x + kを円の方程式に代入します。

代入後、得られる式は(x – 1)² + (x + k – 2)² = 25となります。この式を整理して、2次方程式を解きます。判別式が0となるkの値を求めることで、接点の位置を特定できます。

ゴリ推しは必要ない？代入の重要性

質問で「ゴリ推ししても変わらないか？」という疑問がありましたが、代入をしっかりと行うことが重要です。代入をしないと、解の種類（交点の数）を正確に判断することができません。代入して得られた方程式の判別式を計算することで、円と直線が1点で接する条件を正確に求めることができます。

まとめ

円と直線の接点を求めるためには、直線の方程式を円の方程式に代入し、その後に得られる2次方程式の判別式を使って接点の位置を特定します。kの値を求める際にゴリ推しをする必要はなく、代入と判別式をしっかり計算することが重要です。これにより、円と直線が接する条件を正確に求めることができます。