高校数学: 関数f(t)=e^t-xtの最小値とy≦e^t-xtの関係について

高校数学で登場する関数や不等式の問題は、初めて学ぶときに少し難しく感じることがあります。今回の質問は、全ての実数tに対して「y≦e^t-xtが成立する」という条件について、その意味をイメージできるように解説します。この問題の本質を理解すれば、関数の最小値に関する問題を解くのが楽になりますよ。

関数f(t)の最小値を求める

まず、「y≦e^t-xt」という不等式についてですが、この式はyが関数f(t)=e^t-xtの最小値以下であることを示しています。これを理解するためには、f(t)という関数がどういうものかをよく理解する必要があります。

関数f(t)=e^t-xtは、tに関して変化する関数です。この関数が最小値を取る点が、yの上限として作用します。最小値を取る点は、関数の傾きが0になる場所（微分を使って求める）です。つまり、この関数のグラフが最も低い点（最小点）が重要なのです。

次に、f(t)=e^t-xtの最小値を求める方法を簡単に説明します。最小値を求めるためには、まずf(t)を微分して、微分した結果が0になるtの値を求めます。

f'(t) = e^t – x ですから、この式を0にすると、e^t – x = 0、すなわちe^t = xとなります。この式から、t = ln(x)（自然対数）という結果が得られます。このtの値が、関数f(t)が最小値を取る点です。

「y≦e^t-xtが成立する」とは、yが関数f(t)の最小値以下である必要があるという意味です。最小値を取る点（t=ln(x)）でのf(t)の値がyの上限となります。

つまり、yはf(t)がt=ln(x)のときに取る最小値以下でなければならない、という条件になります。これにより、yの範囲が決まります。

今回の問題では、関数f(t)=e^t-xtが最小値を取る点とyの関係について学びました。yが関数の最小値以下である必要があるということは、yが最小値を取る点での値より大きくなってはいけないということです。この考え方をしっかり理解すると、関数や不等式の問題がよりクリアに解けるようになります。