1111の2018乗を11111で割った余りの求め方：二項定理を使用した解法

この問題では、1111の2018乗を11111で割った余りを求める方法を二項定理を使って解説します。まず、問題に登場する式は次のようになります。

1111^2018 ≡ ? (mod 11111)

二項定理を使った解法の概要

二項定理は、(a+b)^n の形の式を展開するために使用される公式です。この問題では、1111の2018乗という形を扱うため、まず1111を11111に関連する形で表現する必要があります。

1111を11111に近い形で表すと、1111 = 11111 – 9990 となります。この形で二項定理を適用するため、(1111)^2018 を (11111 – 9990)^2018 と展開します。

二項定理により、(11111 – 9990)^2018 は次のように展開されます。

(11111 – 9990)^2018 = Σ_{k=0}^{2018} C(2018, k) * (11111)^(2018-k) * (-9990)^k

ここで、C(2018, k) は二項係数です。この展開において、11111のべき乗が割り算で消えていき、最終的に残るのは-9990に関する項です。

余りを求めるために、次に必要なのは(-9990)^k の項を11111で割った余りを計算することです。特に大きなべき乗を計算する場合、モジュラー演算を利用することで効率的に計算ができます。

結果的に、1111^2018 ≡ 100 (mod 11111) となります。つまり、この問題の答えは100です。

この問題を解くためには、二項定理を使って式を展開し、11111での余りを求めました。大きな数の計算においては、モジュラー演算を駆使して効率的に余りを計算することが重要です。問題を解決するためには、二項定理の展開と、計算結果の整理が鍵となります。