なぜ2次関数 f(x) = a(x – α)(x – β) と表せるのか？

2次関数のグラフがx軸と交わる点での関数の表現方法について、特に「f(x) = a(x – α)(x – β)」の形にする理由を理解することは重要です。この記事では、x軸との交点であるαとβがどのように関数に組み込まれるのか、そしてその理由を分かりやすく解説します。

2次関数の基本形と交点

2次関数の一般的な形は f(x) = ax² + bx + c ですが、x軸と交わる点を知っている場合、関数は異なる形で表現できます。特に、x軸と交わる点（α, 0）と（β, 0）が与えられた場合、2次関数はそれに合わせた因数分解を行うことができます。

交点を使った因数分解の理由

2次関数 f(x) が x軸と交わる点 (α, 0) と (β, 0) を持つ場合、関数の値が0になる点（x = αおよびx = β）を含む因数を持つことが確定します。すなわち、x = αまたはx = β のときに f(x) = 0 になるため、f(x) を次のように因数分解することができます。

f(x) = a(x – α)(x – β)

なぜ a が必要なのか

a は定数で、2次関数の形状を調整する役割を果たします。a の値によってグラフの開き具合（上向きか下向きか）や広がり方が決まります。この a の値が正であればグラフは上向きに開き、負であれば下向きに開きます。a の大きさによって、グラフの「細さ」や「広さ」も変わります。

具体例: f(x) = a(x – α)(x – β) の利用

例えば、x軸と交わる点が (2, 0) と (4, 0) であれば、2次関数は f(x) = a(x – 2)(x – 4) という形になります。ここで a は、関数がどのように開くかを決めるため、問題の条件に基づいて求めます。

まとめ: 2次関数を因数分解する理由とその形

2次関数がx軸と交わる点を持つ場合、その関数を f(x) = a(x – α)(x – β) と因数分解する理由は、x軸との交点を明確に示すためです。この形にすることで、交点を簡単に見つけることができ、さらにグラフの形状を理解するのにも役立ちます。定数aはグラフの開き具合を調整し、関数を完全に定義するために重要です。