数学における曲線の平行移動は、座標系における点の位置を変更する重要な操作です。特に、y=f(x)上の点を平行移動する際の計算についての疑問を解消します。この問題では、座標変換に関する基本的な理解を深め、疑問点を解決します。
曲線の平行移動の基本的な考え方
まず、曲線y=f(x)上の点(x, y)を考えます。この点をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した点(X, Y)は次のように表されます。
X = x + p
Y = y + q
つまり、xがpだけ進み、yがqだけ進むことで、点の位置が移動します。これを式で表すと、xとyの値を変更した新しい座標が(X, Y)になります。
疑問点1：y=f(x)とY-q=f(X-p)は同じグラフか？
ここでの疑問は、x軸方向とy軸方向に平行移動した後の式が、元のグラフと同じものになるかという点です。実際、Y-q=f(X-p)は、元の関数y=f(x)を平行移動した新しいグラフを表しているため、元のグラフとは位置が異なりますが、形状は同じです。従って、同じグラフの平行移動後のバージョンであり、形状を保ったまま位置が変更されたものです。
疑問点2：代入した時点で移動後のグラフを表しているか？
代入の段階では、まだ新しいグラフを直接表しているわけではありません。XとYをxとyに戻したときに、移動後のグラフを表す式が得られます。具体的には、Y=qを代入した後に得られる式は、移動後の新しい関数を表します。つまり、X、Yの値をx、yに戻した時点で移動後のグラフの式に変換されます。
疑問点3：xyとXYは異なる文字なのに、戻していいのか？
xyとXYは異なる変数であるため、注意が必要です。しかし、XとYは単に平行移動後の座標として新しい値を示しているに過ぎないため、最終的にxとyに戻すことで元の座標系に基づいた式に戻すことが可能です。この変換は単なる座標の変更であり、グラフの形状自体は変更されないため問題なく戻すことができます。
まとめ
曲線の平行移動についての疑問は、座標変換に関する基本的な理解が重要です。移動後の座標をX, Yとして表現し、最終的にx, yに戻すことで、平行移動後の関数を正しく表現できます。平行移動はグラフの位置を変える操作であり、形状はそのまま保たれます。この理解をもとに、座標変換や関数の変換をさらに深く学ぶことができます。
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