三角関数を使った図形の問題では、与えられた式からどのような図形を描くかを求めることがよくあります。この記事では、x=3cosθ+2, y=4sinθ+1という方程式が描く図形がどのようなものであるかを解説し、θの存在条件についても詳しく説明します。
与えられた式から図形を求める
まず、与えられた式はx=3cosθ+2, y=4sinθ+1です。この式は、θ（角度）に対するxとyの値を定めています。これらの式から、P(x, y)がどのような図形を描くかを求めるために、sinとcosを使って整理していきます。
sin^2θ + cos^2θ = 1という三角関数の基本的な恒等式を使い、xとyの式を変形します。x-2=3cosθ、y-1=4sinθとなるので、両方を2乗して足し合わせます。
楕円の方程式を導く
次に、x-2=3cosθとy-1=4sinθをそれぞれ2乗して足し合わせると、次のような式が得られます。
((x-2)^2)/9 + ((y-1)^2)/16 = 1
この式は、中心が(2, 1)、長軸の長さが8、短軸の長さが6の楕円を表します。これがP(x, y)が描く図形です。したがって、与えられた式が描く図形は楕円です。
θの存在条件を求める方法
次に、θの存在条件について考えます。求めた楕円の方程式は単なる必要条件に過ぎません。θが存在するための条件を求めるには、cosθとsinθがそれぞれ定義される範囲に収まることを確認する必要があります。
θが実数であるためには、sinθとcosθの値が[-1, 1]の範囲にある必要があります。この条件を満たすθの値を求めるためには、与えられた式においてsinθやcosθがその範囲を超えないようにする必要があります。
具体的なθの範囲の求め方
具体的には、x=3cosθ+2とy=4sinθ+1を使ってθの範囲を求めます。まず、cosθとsinθがそれぞれ[-1, 1]の範囲に収まるように、xとyの範囲を制約します。
例えば、x=3cosθ+2の場合、xの範囲は[-1, 1]に対応するように調整する必要があります。同様に、y=4sinθ+1もyの範囲を考慮して、θが適切な範囲に収まるように条件を設定します。
まとめ
この問題では、与えられた式から楕円の図形を求め、さらにθの存在条件を求める方法について解説しました。楕円の方程式は簡単に導き出せますが、θが存在するための条件を満たす範囲を求めることが重要です。sinθとcosθが定義される範囲内でθが存在することを確認することが求められます。
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