Sn＝1×1/2+2×1/2^2＋3×1/2^3+・・・n×1/2^n の解法について

このページでは、Sn＝1×1/2+2×1/2^2＋3×1/2^3+・・・n×1/2^n のような数列の解法について解説します。この数列は、等比級数の一部であり、少し工夫をすることで簡単に解くことができます。数式をシンプルにしていくためのアプローチと、途中のステップを分かりやすく説明します。

数列の定義

まず、与えられた数列は次のように定義されています。

Sn＝1×1/2+2×1/2^2＋3×1/2^3+・・・n×1/2^n

これは、n項目までの各項が「項番号×1/2の項番乗」の形になっており、無限級数の一部と捉えることができます。

この数列を解くためには、まず各項を一般的に表現できるか考えます。

一般に、この数列は次のように表されます。

Sn = Σ (k × (1/2)^k)　（k = 1, 2, 3, …, n）

ここでのポイントは、「項番号 × 1/2 の冪」の形になっているところです。これを解くために、数列の総和の公式や等比級数の考え方を使います。

この数列は、等比級数に似た形をしていますが、項番号がかかっているため少し手間がかかります。等比級数の性質を使ってこの数列を変形し、シンプルに求める方法を取ります。

具体的には、数列の和を2つに分けて、各部分を別々に計算します。詳細な計算過程は以下の通りです。

Sn = Σ (k × (1/2)^k) = (1/2) × Σ k × (1/2)^(k-1)

この形にすることで、計算が簡単になります。途中で別の数列として扱うことで、結果を求めることができます。

Sn＝1×1/2+2×1/2^2＋3×1/2^3+・・・n×1/2^n の解法は、等比級数の性質を活用することで簡単に求めることができます。数式を適切に変形し、部分的に計算を進めることで、簡単に結果を得ることが可能です。数列の和を求める問題では、基本的な数列の性質を理解しておくことが重要です。