実数係数多項式の因数分解: 複素数を使わずに2次以下に分解する方法

実数係数多項式が必ず2次以下の実数係数多項式に因数分解できる理由について、複素数を使わずに証明する方法を解説します。

実数係数多項式の因数分解の基本

多項式の因数分解は、式を積の形に分解することで、その多項式の根（解）を見つける方法です。例えば、2次式であれば、因数分解することで、その式が持つ解を求めることができます。

実数係数の多項式が2次以下の実数係数多項式に分解可能であるための基本的な条件は、その多項式の判別式が非負であることです。判別式が正ならば、異なる2つの実数解が存在し、判別式が0ならば、重解が存在することがわかります。

例えば、2次式 ax^2 + bx + c の判別式は b^2 – 4ac です。この判別式が0以上であれば、その多項式は実数解を持ち、因数分解できます。

実数係数多項式が必ず2次以下の実数係数多項式に因数分解できることを示すために、次のように進めます。

まず、多項式が2次方程式であれば、その解は解の公式を使用して求めることができます。解の公式は次のように表されます。

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

ここで、判別式 b² – 4ac が非負である場合、解が実数であることが保証されます。そのため、実数係数の2次方程式は必ず実数解を持ち、因数分解することができます。

この証明では複素数を使わずに、実数解が存在するかどうかを判別するために判別式を使用しています。複素数は、判別式が負の場合に解として現れますが、この証明では複素数解を考慮しないため、判別式が非負の場合にのみ焦点を当てています。

実数係数多項式は、判別式が非負である限り、2次以下の実数係数多項式に因数分解できます。この証明は、解の公式と判別式を利用して、複素数を使わずに実数解を求める方法を示しました。