数学の問題解説：x^2-2(a+1)x+3a=0の範囲に異なる2つの実数解を求める方法

この問題では、与えられた二次方程式x^2 – 2(a+1)x + 3a = 0の範囲で異なる2つの実数解を持つaの範囲を求める方法について解説します。

問題の理解

問題の方程式は、x^2 – 2(a+1)x + 3a = 0です。この方程式の解を求めるためには、xの解が-1<=x<=3の範囲において異なる2つの実数解である必要があります。

必要な条件：判別式と端点

まず、二次方程式の解の存在条件として判別式を利用します。判別式は以下の式で求められます。

Δ = b^2 – 4ac

この判別式が0より大きければ実数解が2つ、0の場合は重解、負の場合は実数解が存在しません。したがって、判別式を使って解が2つある条件を求めることができます。

軸の条件が必要な理由

問題の条件に「-1<=x<=3」とありますが、単に判別式を用いて解の範囲を求めるだけでは、この範囲に解が収まるかどうかを正確に求めることができません。なぜなら、二次方程式は軸を持ち、その軸がxの範囲にどのように関わるかを確認する必要があるからです。方程式の解が範囲内に収まるためには、軸が-1<=x<=3の範囲内にあることを確認する必要があります。

端点の条件

次に、問題の端点であるx = -1およびx = 3で方程式がどのように振る舞うかをチェックする必要があります。これらの端点で解が実際に存在するか、またそれが2つの異なる解を持つかを確認するために、aの範囲を求める必要があります。

具体的な解法

方程式の解の範囲を求めるためには、判別式を使って解の個数を確認した後、x = -1およびx = 3で解が存在するかどうかを確認する必要があります。これにより、aの範囲を求めることができます。

まとめ

この問題を解くためには、単に判別式と端点の条件を利用するだけではなく、解の範囲を決めるために軸の位置も考慮する必要がありました。具体的な解法を使って、aの範囲を求める方法を理解することができました。