三角関数の方程式を解く際、複数の三角関数が絡む場合があります。特に、sinとcosが同時に現れる方程式を解くとき、どのようにして変数を消去し、1つの三角関数だけで解くかが重要になります。この記事では、具体的な問題を通じて、sinxとcosyを含む方程式をsinのみで解く方法について解説します。
問題の設定
まず、与えられた方程式は次のような形です。
sin(x) – cos(y) = 0
cos(x) + sin(y) = √3
この問題では、xとyの値を求めるために、cosを消去し、sinのみで解く方法を考えます。まずは、この2つの方程式を使ってcosの式を消去し、sinだけで解いていきましょう。
方程式からcosを消去する
最初の方程式sin(x) – cos(y) = 0を解くと、cos(y) = sin(x)という関係が得られます。この式を2番目の方程式cos(x) + sin(y) = √3に代入します。
次に、sin(y) = sin(x)を代入して式を整理すると。
cos(x) + sin(x) = √3となります。
sin(x)を使って解く
次に、この方程式cos(x) + sin(x) = √3をsin(x)を使って解いていきます。ここで、cos(x)をsin(x)を使って表現するために、単位円や三角関数の恒等式を利用します。
cos(x)をsin(x)の式で表すために、次の恒等式を使います。
cos^2(x) = 1 – sin^2(x)
この式をcos(x)の代わりに代入し、sin(x)の式に変換します。すると、次のような方程式が得られます。
√(1 – sin^2(x)) + sin(x) = √3
解を求めるための次のステップ
この方程式を解くためには、まず両辺を2乗して式を簡略化します。しかし、代数的に展開する際に注意が必要です。なぜなら、2乗することで余分な解が生じることがあるからです。
その後、求められた解から、xとyの範囲を考慮して正しい解を選びます。最終的に、sin(y) = π/3, 2π/3という値が得られることがわかります。
まとめ
今回の問題では、sin(x) – cos(y) = 0とcos(x) + sin(y) = √3という方程式を解く方法を解説しました。cosをsinで表すためには、三角関数の恒等式を活用し、さらに両辺を2乗して解を求めることで、最終的に解を得ることができました。sinxとcosyを含む複雑な式でも、適切に処理を進めることで解を導き出せます。
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