2つの円の交点を求めるために、円の方程式のx²とy²の項を消去する方法を考えます。この計算から導かれる1次方程式が、なぜ2つの円の交点を結ぶ直線になるのかについて、数学的な背景とその証明を解説します。
円の方程式と交点
2つの円の方程式は次のように表されます。
円1：x² + y² + 2ax + 2by + c1 = 0
円2：x² + y² + 2px + 2qy + c2 = 0
これらの方程式を連立させ、交点を求めるためには、2つの式を引いてx²とy²の項を消去することが有効です。
方程式を引いてx²とy²を消去する
まず、2つの円の方程式を引きます。
(x² + y² + 2ax + 2by + c1) – (x² + y² + 2px + 2qy + c2) = 0
すると、x²とy²の項がキャンセルされ、次のようになります。
2ax + 2by – 2px – 2qy + c1 – c2 = 0
これを整理すると、次の1次方程式が得られます。
(2a – 2p)x + (2b – 2q)y + (c1 – c2) = 0
なぜこの1次方程式が交点を結ぶ直線になるのか？
この1次方程式は、2つの円の交点を結ぶ直線を表します。なぜなら、この式は2つの円の交点が位置する直線の方程式だからです。実際に、2つの円が交わる点は、直線上に存在します。この直線は、円の交点を繋ぐものであり、どの2点が交点であるかは、さらに詳細な計算によって求められます。
具体的な例
例えば、円1の方程式がx² + y² + 6x + 8y + 5 = 0、円2の方程式がx² + y² + 4x + 6y + 3 = 0である場合、これらの方程式を引いてx²とy²を消去し、得られた1次方程式を解くことで、交点を結ぶ直線を求めることができます。
まとめ
2つの円の方程式からx²とy²の項を消去すると、交点を結ぶ直線の方程式が得られます。この方法は、円の交点を求めるために非常に有効であり、1次方程式を解くことで交点を結ぶ直線を求めることができます。
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