二次方程式の解の範囲と解答の表記方法: ①実数解 ②虚数解

二次方程式を解く際、解の範囲を求めることは非常に重要です。特に、異なる実数解や虚数解を持つ場合、その解の範囲をどのように表記するかには注意が必要です。この記事では、二次方程式の解の範囲を求める問題について、①実数解、②虚数解のケースでの解答方法の違いと、その表記方法を解説します。

① 二次方程式の実数解の場合: 解の範囲と表記方法

問題として、「x² + ax + 3a = 0」が与えられ、異なるふたつの実数解をもつときの定数aの値の範囲を求める場合について考えます。まず、この方程式の判別式Δを求めることで、実数解を持つ条件を導きます。

判別式Δは、一般的にΔ = b² – 4ac という式で求められます。ここで、a = 1, b = a, c = 3aとなります。Δ = a² – 12aと計算できます。この判別式が正の値を持つとき、二次方程式は異なる実数解を持つことがわかります。

したがって、Δ > 0となる条件を求めると、a² – 12a > 0となり、a > 12 または a < 0 という範囲が得られます。このように、解の範囲はa < 0またはa > 12という形で表記されます。

次に、「x² + 2ax + a + 2 = 0」が与えられ、異なるふたつの虚数解をもつときの定数aの値の範囲を求める問題を考えます。この場合も、判別式Δを用いて解の範囲を求めます。

判別式ΔはΔ = b² – 4acとして、a = 1, b = 2a, c = a + 2です。したがって、Δ = (2a)² – 4(1)(a + 2) = 4a² – 4a – 8となります。

虚数解を持つためには、判別式が負である必要があります。Δ < 0となる条件を求めると、4a² - 4a - 8 < 0となり、aの範囲は-1 < a < 2となります。この場合、解の範囲は-1 < a < 2という形で表記されます。

①と②の問題では、解の範囲を求める方法に違いがあります。①の実数解の場合は、区切った範囲（a < 0 または a > 12）を2つの条件として示しました。一方、②の虚数解の場合は、解の範囲が連続した範囲（-1 < a < 2）であるため、1つの範囲として表記しています。

このように、解の範囲が2つに分かれる場合は「または」を使って区切り、連続する範囲の場合はそのままつなげて書くことが一般的です。

二次方程式の解の範囲を求める際、解の種類（実数解や虚数解）によって表記方法が異なります。実数解の場合は区切った範囲で表し、虚数解の場合は連続した範囲で表すのが一般的です。この違いを理解することで、数学の問題に対して適切に解答できるようになります。