中学受験の算数では、分数の扱いが重要なポイントです。特に、分母が48の分数で1/4より大きく、5/6より小さい範囲で規約分数を求める問題について詳しく解説します。この記事では、問題を分けて1つずつ解説していきます。
（1）分子が1の規約分数の個数を求める
まず、1/4より大きく、5/6より小さい分数で、分母が48のものを考えます。分数の範囲を求めるためには、まずこの範囲に該当する分数の中から、分子が1であるものを見つける必要があります。
分母が48の場合、分数は次のように表されます。
1/48, 2/48, 3/48, ..., 47/48
次に、1/4より大きく、5/6より小さい範囲を求めます。
1/4 = 12/48 と 5/6 = 40/48 です。よって、範囲は 12/48 より大きく、40/48 より小さい分数である必要があります。
分子が1である分数は 1/48 のみです。この分数は範囲 12/48 < x < 40/48 に該当しないため、分子が1の規約分数は 1つも存在しません。
（2）規約分数の個数を求める
次に、分母が48の分数で、1/4より大きく、5/6より小さい規約分数の個数を求めます。まず、規約分数とは、分子と分母の最大公約数（GCD）が1である分数です。
範囲は 12/48 < x < 40/48 です。この範囲に該当する分数の中で、分子と48の間に共通の約数がないものを規約分数と呼びます。まず、分母48の約数を考えると、48は 24 × 3 という素因数分解ができます。
次に、分子が12より大きく、40より小さい範囲の数を求めます。範囲は 13, 14, 15, …, 39 の整数です。それぞれについて、48との最大公約数を求め、GCDが1である場合、その分数は規約分数です。
例えば、13と48の最大公約数は1なので、13/48は規約分数です。同様に、14/48, 15/48, …, 39/48についても同様に確認し、規約分数を数えます。
最終的に、規約分数は15個あります。
まとめ
この問題では、分母が48の分数について、1/4より大きく5/6より小さい範囲で規約分数を求めました。（1）の分子が1の規約分数は0個であり、（2）の規約分数は15個でした。このような問題を解くには、分数の範囲を求め、最大公約数を利用して規約分数を求める方法が有効です。
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