整数剰余群Z/3Zの直積集合Xにおける加法の閉包性について

整数剰余群Z/3Zにおける直積集合X = {(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) ∈ (Z/3Z)⁵ | Σaᵢ = 0}の加法の閉包性について解説します。具体的には、Xの元x₁, x₂が与えられたとき、x₁ + x₂もXに含まれるかどうかを証明します。

1. 問題設定と直感的な理解

集合Xは、Z/3Zの元からなる5つの要素から構成され、これらの元の和が0になるものを集めた集合です。まず、直感的に、Z/3Zでの加法が閉じていることから、加法がXの中で閉じている可能性が高いと予想されます。しかし、これを厳密に証明する必要があります。

2. 加法が閉じているとはどういうことか

加法が閉じているとは、Xに属する2つの元x₁, x₂について、その和x₁ + x₂もまたXに含まれるということです。つまり、Σaᵢ = 0であるような2つの元の和も、Σaᵢ = 0の条件を満たす必要があります。この条件を確認するためには、加法を行った後、再度その和が0になるかを確認します。

3. 計算と証明

x₁ = (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅), x₂ = (b₁, b₂, b₃, b₄, b₅) の元がXに属しているとします。すなわち、Σaᵢ = 0 かつ Σbᵢ = 0 です。これらの元の和は、x₁ + x₂ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, a₄ + b₄, a₅ + b₅) です。この和の各要素の総和を計算します。

Σ(aᵢ + bᵢ) = Σaᵢ + Σbᵢ = 0 + 0 = 0。従って、x₁ + x₂の和もXに含まれます。これにより、Xの加法は閉じていることが確認されました。

4. まとめと結論

整数剰余群Z/3Zの直積集合Xにおける加法は閉じています。つまり、Xに属する2つの元の和もまたXに属することが証明されました。加法の閉じている性質は、集合が群を形成するために重要な要素となります。このように、加法の性質を理解することは、群論の基礎を理解するための第一歩です。