数学の定期テストで出題された「7人から5人を選んで円卓に座らせる方法は何通りか？」という問題について、模範解答と間違った解法について解説します。解法の理解を深め、間違いを避けるためのポイントを学びましょう。
1. 正しい解法: 7P5 ÷ 5
問題のポイントは、円卓に座るという点です。円卓に座らせる場合、並び方における回転対称性を考慮し、同じ並び順でも回転させると異なる順番としてカウントされないため、座る順番の組み合わせを求める際に1回転を省く必要があります。
「₇P₅」とは、7人の中から5人を順番に選ぶ方法を意味しますが、円卓で回転が同じ場合はその回転分だけ割り引く必要があります。そのため、答えは「₇P₅ ÷ 5 = 504通り」となります。
2. 間違いの解法: 7C5 × 4!
一方、「₇C₅ × 4!」という式では、座席の順番を考慮していません。₇C₅は、7人から5人を選ぶ方法を示していますが、円卓で回転対称性を無視しているため、回転を考慮していない座席の配置がカウントされています。
さらに、4!（4の階乗）は、選ばれた5人を並べる順番の数を示すもので、これも間違いです。円卓であれば1つの回転を省く必要があり、これでは答えが過剰になってしまいます。そのため、「₇C₅ × 4! = 2520通り」となるのは誤りです。
3. 円卓の座り方における回転対称性
円卓での座り方において、回転対称性を考慮することが非常に重要です。例えば、1人を固定して座らせることで、残りの人々の並び方だけを考えるようにすることで、回転による重複を除外できます。
「₇P₅」を使用した解法では、この回転対称性が自動的に考慮され、正しい答えを導きます。これにより、無駄な計算を避け、正確に解を求めることができます。
4. まとめ
「7人から5人を選んで円卓に座らせる方法」について、円卓での回転対称性を考慮することで、正しい解法が得られます。間違った解法では回転対称性を無視してしまい、解答が過剰になることがあります。円卓の問題を解く際は、回転を省くことを意識して、順番を選ぶ方法を計算しましょう。
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