数学問題の解説：1〜100の整数で条件を満たす数は何個か？

この問題では、1～100の範囲で、奇数であり、3の倍数であり、4で割ると1余る数を求める問題です。解法の中で立てられた不等式「1≦12n+9≦100」がなぜ成り立つのか、そしてその解法における「7ではなく8個」という答えについて詳しく解説します。

問題の条件を整理しよう

まず、問題の条件を整理しましょう。1～100の整数で、以下の条件を満たす数を求めます。

これらの条件を満たす数を式に表すために、式変形を行います。

条件を一つずつ見ていくと、3の倍数であり、4で割ると1余る奇数の形を式にできます。これを数学的に表すために、「12n+9」という形にしています。ここで、nは整数です。

この式は、すべての条件を満たす数の一般的な形です。1≦12n+9≦100という不等式を立てることで、1～100の範囲に収まる整数nの値を求めます。

この問題で「7個ではなく8個」という答えが出る理由は、式「12n + 9」が1～100の範囲でどのようなnの値を取るかによるものです。不等式「1≦12n+9≦100」を解くと、nの範囲が-1≤n≤7となります。この範囲内のnに対応する数は、実際には8個あります。

具体的に、nが-1から7まで取る整数の場合、それぞれに対応する12n + 9の値はすべて条件を満たします。したがって、整数nの個数は8個となります。

この問題では、与えられた条件を満たす整数nの個数は8個である理由を示しました。重要なのは、不等式を正しく立てて範囲を求めることです。そして、「7個ではなく8個」という答えは、nの範囲内で値が8つ存在するからです。