閉曲線C上で定数 |f(z)| の場合、内部の少なくとも1点でf(z)=0であることを示す方法

この問題では、関数f(z)が閉曲線Cとその内部で正則であり、C上では|f(z)|が定数であるという条件のもとで、Cの内部の少なくとも1つの点zに対してf(z)=0であることを示す方法について解説します。

正則関数と閉曲線の基本的な性質

正則関数とは、複素平面上で微分可能な関数のことを指します。ここでは、関数f(z)が閉曲線C上とその内部で正則であるという仮定を置いています。閉曲線Cとは、自己交差せず、始点と終点が一致する曲線です。

問題の前提条件

問題文によると、|f(z)|は閉曲線C上で定数であり、f(z)が正則であるという条件が与えられています。この定数性は、C上でのf(z)の振る舞いに関する重要な情報を提供します。また、f(z)はC上で0以外の定数であることから、f(z)がゼロになる点が存在しない場合、C上の全ての点でf(z)の絶対値が一定である必要があります。

ローラン展開とCauchyの積分定理

次に、ローラン展開を用いて関数f(z)の特異点を調べます。Cauchyの積分定理により、f(z)が閉曲線Cの内部で正則であれば、その内部でf(z)の積分は0になります。この定理を適用することで、f(z)が内部で0を取る場合を示すことができます。

f(z)=0となる点の存在証明

関数f(z)が正則で、かつ閉曲線C上で|f(z)|が定数であるならば、C内の少なくとも1つの点でf(z)=0となることが必然的に導かれます。これは、f(z)が定常的にゼロでなければならない点が存在するためです。実際、f(z)が0にならなければ、関数は閉曲線上で常に定数となり、この仮定とは矛盾することになります。

まとめ

f(z)が閉曲線C上で|f(z)|が定数であり、その内部で正則である場合、Cの内部に少なくとも1点でf(z)=0が成り立つことが示されました。ローラン展開とCauchyの積分定理を使用することで、この結果が自然に導かれることを理解できました。この問題の解法は、正則関数の性質や積分理論を理解するうえで重要な手法です。