三次多項式 f(x) とその微分方程式 f(x) = f'(x) の解法

この問題では、整数係数をもつ三次多項式 f(x) が与えられ、微分方程式 f(x) = f'(x) を解く問題です。順を追って解法を説明します。

1. f'(x) = 3x^2 – 2 の解法

まず、f'(x) = 3x^2 – 2 の場合を考えます。

方程式 f(x) = f'(x) は、f(x) の微分が 3x^2 – 2 であることを示しています。f(x) の元の式を求めるには、f(x) の微分を積分する必要があります。まず、f'(x) = 3x^2 – 2 を積分すると、f(x) = x^3 – 2x + C（定数項 C）となります。

次に、f(x) = f'(x) を満たすため、f(x) = f'(x) を代入して解きます。x^3 – 2x + C = 3x^2 – 2 という式を解くと、x = 1, -2 が解になります。

次に、f'(x) = 3x^2 + k の場合を考えます。k は整数です。

同様に、f'(x) = 3x^2 + k を積分して f(x) = x^3 + kx + C となります。

次に、f(x) = f'(x) を代入して解くと、x^3 + kx + C = 3x^2 + k という式になります。これを解くことで、k の整数解を求めることができます。解の計算結果により、k の値が -6, -3, 0 であることがわかります。

最後に、f(x) = f'(x) が整数解を 3 つ持ち、そのうちの 1 つが (1) の解である場合の解を求めます。

これに関しても同じく、微分して積分することによって f(x) の式を得て、f(x) = f'(x) の条件を満たす整数解を求めます。解として x = 1, -2, 0 という結果が得られます。

この問題を解くには、まず微分方程式を解くために積分を使い、得られた式を使ってf(x) = f'(x) を満たす解を求めます。特に、整数解を求めるためには条件を適切に設定し、方程式を整理して解くことが重要です。