f(z)=z^1/3のf(1)=e^2πi/3となる分枝をz=1で整級数展開する方法

複素関数の整級数展開は、特に分枝点が関係してくる場合に重要なテクニックです。この例では、関数 f(z) = z^(1/3) の、分枝点 z=1 での整級数展開について考えます。特に f(1) = e^(2πi/3) となるような分枝を考え、z=1での展開を求めます。

1. f(z) = z^(1/3) の基本的な性質

関数 f(z) = z^(1/3) は、z=0 で分枝点を持ちますが、問題は z=1 における分枝についてです。この関数は、複素平面上で定義される複数の値を取る可能性があり、特に z=1 の周りではその分枝が重要です。

関数 f(z) = z^(1/3) の分枝を選ぶためには、z=1 での値が e^(2πi/3) になるように分枝定数を設定する必要があります。このように、分枝点の選定によって関数の挙動が変わります。

整級数展開を行うためには、f(z) をz=1の周りで展開する必要があります。このため、まず f(z) の形を適切に変形してから、テイラー展開を用いて展開します。具体的な計算には、f(z) の微分を求める過程が含まれます。

z=1 付近では、f(z) = z^(1/3) の展開を行うために、z – 1 を小さな変数としてテイラー展開を進めます。この展開では、z=1 における微分係数を求め、整級数を計算することになります。

f(z) = z^(1/3) の z=1 での整級数展開には、分枝選定と微分を駆使した計算が重要です。これを理解することで、複素関数の挙動や解析における多くの問題に対処できるようになります。