素因数分解の一意性による平方数の性質の証明

この問題では、互いに素な自然数a, bが与えられ、abが平方数であるとき、aとbが共に平方数であることを素因数分解の一意性に基づいて証明する方法について説明します。

1. 素因数分解の一意性とは

素因数分解の一意性とは、任意の自然数は素数の積として一意に分解できるという定理です。具体的には、任意の整数nは、n = p1^e1 * p2^e2 * … * pk^ek のように素数p1, p2, …, pkとその指数e1, e2, …, ekを用いて表現でき、この表現はnに対して唯一無二であるということです。

この一意性の性質を利用して、平方数の性質を考察することができます。

2. abが平方数のとき、aとbの素因数分解

abが平方数であるという条件から、abの素因数分解を考えます。平方数は、すべての素因数の指数が偶数でなければならないという性質を持っています。

もしabが平方数であれば、abの素因数分解においてすべての素因数の指数が偶数である必要があります。すなわち、aとbのそれぞれの素因数分解における指数の和が偶数である必要があります。

3. aとbが互いに素である場合の証明

aとbが互いに素であるという条件は、aとbが共通の素因数を持たないことを意味します。すなわち、aとbの素因数分解におけるそれぞれの素因数は、他方の素因数に含まれていません。

この場合、abの素因数分解の指数の和が偶数であるためには、aとbそれぞれが平方数でなければなりません。なぜなら、aとbが互いに素であるため、aとbのそれぞれの素因数の指数が偶数でなければならないからです。

4. 結論

したがって、abが平方数であれば、aとbは共に平方数である必要があります。この証明は、素因数分解の一意性に基づいています。