Σk² の意味とその計算方法：数式と例題の解説

数式「S = 1² + 2² + 3² + … + n²」は、整数の平方の和を求めるものです。この式は数学的なシグマ記号（Σ）を使って表現できます。具体的には、シグマ記号は「k = 1 から n までの k²」を表しますが、これがどのように成り立っているのかを理解することが重要です。この記事では、この数式の意味とその計算方法について解説します。

シグマ記号 Σ の基本

シグマ記号（Σ）は、ある範囲の数値を足し合わせるための数学的な記号です。例えば、Σk²は、k = 1からnまでの整数kの二乗を全て足し合わせることを意味します。これを式で表すと、「S = Σk², k = 1 から n まで」となります。

1² + 2² + 3² + … + n² の計算方法

この数式「1² + 2² + 3² + … + n²」の計算方法は、シグマ記号を使って簡単に表せます。具体的には、次のように書きます。

S = Σk² (k = 1 から n まで)

ここで、nが指定された整数値によって、k²の合計が計算されます。この合計を求めるためには、具体的な計算が必要ですが、特定の公式を使うことでも計算できます。

平方和の公式

1² + 2² + 3² + … + n² の合計を求めるためには、次の公式を使用することができます。

S = n(n + 1)(2n + 1) / 6

この公式を使うことで、nまでの平方の合計を効率的に求めることができます。例えば、n = 3の場合、この公式を使って計算すると。

S = 3(3 + 1)(2*3 + 1) / 6 = 3*4*7 / 6 = 14

つまり、1² + 2² + 3² の合計は14であることがわかります。

例題：1² + 2² + 3² + … + 5² の合計

実際にこの公式を使って、1² + 2² + 3² + 4² + 5² の合計を求めてみましょう。n = 5の場合。

S = 5(5 + 1)(2*5 + 1) / 6 = 5*6*11 / 6 = 55

したがって、1² + 2² + 3² + 4² + 5² の合計は55となります。

まとめ

「1² + 2² + 3² + … + n²」の計算方法は、シグマ記号を使って簡潔に表現できます。また、平方和を求める公式を利用すれば、より効率的に計算できます。数学において、シグマ記号とその計算方法を理解することは、問題を解く上で非常に有益です。