不等式の解法：基本的な例とステップバイステップの解説

不等式は数学において非常に重要な概念であり、数式の解法を通じて理解を深めることができます。この記事では、いくつかの基本的な不等式の問題を解きながら、その解法のステップを解説します。

1) ｘ² – 2x – 3 > 0 の解法

この不等式を解くには、まず式を因数分解します。

(x - 3)(x + 1) > 0

次に、ゼロとなる点x = 3 と x = -1 で区切り、数直線を使って解の範囲を求めます。

数直線上での符号を調べると、x < -1 または x > 3 の範囲でこの不等式が成り立ちます。したがって、解は。

x < -1 または x > 3

この不等式を解くために、まず3x² + 4x – 1 = 0の解を求めます。二次方程式の解の公式を使って。

x = (-4 ± √(4² - 4×3×(-1))) / (2×3)

計算すると。

x = (-4 ± √16 + 12) / 6 = (-4 ± √28) / 6 = (-4 ± 2√7) / 6

したがって、xの解は。

x = (-4 + 2√7) / 6 または x = (-4 - 2√7) / 6

次に、数直線で解の範囲を調べると、xがこの範囲に含まれるとき不等式が成立します。

この不等式を解くには、まず-2x² – 4x + 3 = 0 の解を求めます。解の公式を使うと。

x = (-(-4) ± √((-4)² - 4×(-2)×3)) / (2×(-2))

計算すると。

x = (4 ± √16 + 24) / (-4) = (4 ± √40) / (-4)

その結果、xの解は。

x = (4 + √40) / (-4) または x = (4 - √40) / (-4)

解の範囲を求め、数直線を使って不等式を解きます。

まずは不等式を-1/2x² + 2x – 3 = 0の形式にして、解を求めます。解の公式を適用すると。

x = (-2 ± √(2² - 4×(-1/2)×(-3))) / (2×(-1/2))

計算すると。

x = (-2 ± √(4 - 6)) / (-1) = (-2 ± √(-2)) / (-1)

ここで、√(-2)は実数解を持たないため、この不等式は実数解を持たないことがわかります。

不等式の解法は、因数分解、解の公式、数直線を使った符号の確認など、さまざまな方法を駆使することで解決できます。各問題に適した解法を選び、実際に手を動かしながら解くことで、理解が深まります。