y’ = x^x の微分の解き方

y’ = x^x の微分を求めるには、まずx^xという式を微分する方法を理解する必要があります。この式は通常の多項式のように直接微分できないため、特別なテクニックが必要です。今回は、その解き方を詳しく説明します。

1. x^xの微分のための準備

x^xのような式を微分するためには、まず自然対数を使って式を変形します。自然対数lnを両辺に取ると、次のようになります。

ln(y) = ln(x^x)

ここで、対数の性質を利用して、右辺は次のように簡略化できます。

ln(y) = x * ln(x)

次に、両辺をxについて微分します。yはxの関数なので、左辺は連鎖律を使って微分します。つまり、d/dx(ln(y)) = (1/y) * dy/dx となります。

右辺のx * ln(x)を微分するには積の微分法則を使います。したがって、d/dx(x * ln(x)) = ln(x) + 1 となります。

これで、両辺を微分した結果は次のようになります。

(1/y) * dy/dx = ln(x) + 1

最後に、dy/dxを求めるために、yを元の式で置き換えます。y = x^x ですから、次のように式を整理できます。

dy/dx = y * (ln(x) + 1)

y = x^x ですので、最終的な微分結果は次の通りです。

dy/dx = x^x * (ln(x) + 1)

したがって、y = x^x の微分結果は、dy/dx = x^x * (ln(x) + 1) となります。このように、指数関数を含む式を微分する際には、対数を活用することで解きやすくなります。