関数 f(x) = x² – 4x + 5 の最大値と最小値を求める方法

この問題では、関数 f(x) = x² – 4x + 5 の最大値と最小値を求めることを目的としています。範囲は 0 ≦ x ≦ a であり、a は正の定数です。この記事では、この問題を解くための手順を順を追って解説します。

1. 関数 f(x) の形を確認する

まず、与えられた関数 f(x) = x² – 4x + 5 を確認します。この関数は、二次関数の一般的な形である ax² + bx + c の形をしています。ここで、a = 1, b = -4, c = 5 です。二次関数の最大値や最小値は、その頂点を求めることで得られます。

二次関数のグラフは、放物線の形をしており、a が正の場合（ここでは a = 1）は、上に開いた形になります。つまり、この関数は最小値を持ちます。

2. 頂点の座標を求める

二次関数の頂点の x 座標は、以下の式で求めることができます。

x = -b / 2a

この式に、a = 1, b = -4 を代入すると、x = -(-4) / (2×1) = 4 / 2 = 2 となります。したがって、関数 f(x) の頂点は x = 2 であることが分かります。

次に、x = 2 のときの f(x) の値を求めます。

3. f(x) の最小値を求める

関数 f(x) = x² – 4x + 5 に x = 2 を代入して、最小値を求めます。

f(2) = 2² – 4×2 + 5 = 4 – 8 + 5 = 1

したがって、最小値は f(2) = 1 です。

4. 最大値を求める

この関数は上に開いた放物線であるため、範囲 0 ≦ x ≦ a の中で最も大きな値は、端点である x = 0 と x = a で計算する必要があります。

まず、x = 0 のときの f(x) を求めます。

f(0) = 0² – 4×0 + 5 = 5

次に、x = a のときの f(x) を求めます。

f(a) = a² – 4a + 5

したがって、最大値は f(0) = 5 と f(a) = a² – 4a + 5 の間で比較する必要があります。

5. まとめ

関数 f(x) = x² – 4x + 5 の範囲 0 ≦ x ≦ a における最小値は 1 で、最大値は f(0) = 5 と f(a) = a² – 4a + 5 の間で決まります。最小値は頂点 x = 2 で得られ、最大値は端点である x = 0 と x = a の値を比較することによって求められます。