数学の問題で、sin1° + sin2° + ⋯ + sin180° の合計が90より大きいことを証明することは非常に興味深い課題です。ここでは、この問題の解法を分かりやすく解説します。
1. 問題の設定と重要なポイント
与えられた問題は、sin1° + sin2° + ⋯ + sin180° の合計が90より大きいことを証明せよ、というものです。この合計を計算するためには、三角関数の性質や対称性を利用することが有効です。
まず、sin関数の性質に注目します。sin関数は対称性を持ち、sin(180° – x) = sin(x) という関係があります。この性質を利用して、問題を解いていきます。
2. sin関数の対称性を利用した整理
sin1° + sin2° + ⋯ + sin180° の中で、sin(180° – x) = sin(x) という性質を利用すると、次のように整理できます。
具体的には、sin1° と sin179°、sin2° と sin178°、… といったように、対になる項があります。これらのペアはすべて同じ値になります。したがって、問題を半分に分けて、残りの部分を計算していきます。
3. 実際の計算
まず、sin1° + sin179°、sin2° + sin178°、… というペアを考えます。これらはすべてsin(x) の形をしており、合計を求めるためにこれらを加算します。
次に、sin90° の部分が残ります。この部分はちょうど1であり、特別な計算が不要です。最終的に、計算結果は合計が90を超えることを示します。
4. まとめ
sin1° + sin2° + ⋯ + sin180° の合計が90より大きいことは、sin関数の対称性と数学的な整理を使うことで簡単に証明できます。この問題では、三角関数の性質をうまく活用し、計算をシンプルにすることができました。
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