二次関数の頂点と軸の理解：なぜ軸がx=pになるのか

二次関数のグラフにおいて、頂点や軸を求める際に混乱することがあります。特に、「x=p」となる軸の求め方に関して疑問を持つ方が多いです。本記事では、その理解を深めるために、二次関数の標準的な形「y = a(x – p)^2 + q」を元に、軸がなぜx=pとなるのかをわかりやすく解説します。

二次関数の標準形について

まず、二次関数の標準形「y = a(x – p)^2 + q」を理解することが重要です。この形では、pとqはそれぞれグラフの頂点の座標（p, q）を示しています。つまり、頂点のx座標はp、y座標はqです。

この関数が描くグラフは放物線であり、その放物線の対称軸はx = pという直線です。このことを理解するためには、放物線の対称性を把握することが必要です。

軸がx=pとなる理由

「y = a(x – p)^2 + q」の場合、x = pの位置で関数が最小または最大値を取ります。このpの値が放物線の対称軸を決定するのです。

具体的には、x=pのとき、(x – p)^2は最小となり、そのときのyの値が頂点のy座標qです。これが放物線の対称性を示しており、軸となる直線はx=pとなります。

具体例での解説

質問に挙げられた例「y = 3(x – 1)^2 + 4」を見てみましょう。この関数の形は、標準形「y = a(x – p)^2 + q」と一致しています。ここで、a=3, p=1, q=4です。

この関数のグラフの頂点は(1, 4)となり、対称軸はx=1となります。つまり、x=pの位置が対称軸となるのです。なぜなら、x = pのときに放物線が対称性を持つため、これが軸となります。

まとめ

二次関数の軸がx=pになる理由は、放物線の対称性に基づいています。標準形の二次関数「y = a(x – p)^2 + q」において、pが放物線の頂点のx座標であり、その位置でグラフが対称になるため、x=pが対称軸となります。この基本を理解することで、二次関数のグラフに関する問題をスムーズに解くことができるようになります。